第4章 结构的位移计算

本章起承上启下的作用，教材上内容比较庞杂，有些理论部分讲得有点深奥，建议大家按如下的标准学习本章：

对理论推导和证明可不作要求，大家可根据自身基础酌情学习；

但对基本概念，基本原理的特点和适用范围等，公式的条件、适用范围、符号的含义一定要仔细、深刻地理解；

对求刚体体系、变形体体系位移的基本技能一定要熟练掌握，否则会影响下一章力法及以后结构动力学课程的学习。

本章复习要求：

深刻理解：位移、广义位移、刚体位移、弹性位移、虚功等基本概念；刚体体系虚功原理、虚位移原理、虚力原理，变形体虚功原理，单位力法求荷载作用下静定结构位移的公式，图乘法的公式特点；

熟练掌握：用虚力原理求支座移动时静定结构的位移，

图乘法求荷载作用下静定梁、刚架的位移。

1、关于位移的概念

结构位移计算的目的有两个，一是验算结构的变形是否符合要求，二是为超静定结构的计算作准备。

位移除常规的角位移（截面绕其对称轴转过的角度）、线位移（截面的形心沿某方向移动的距离）外，还有广义位移或相对位移，即某两个截面的相对转角或相对线位移。

若结构产生位移时，结构内部产生应变，杆的轴线弯成曲线，这种位移可称为弹性位移；若结构产生位移时，结构内部无应变，杆的轴线仍为直线，这种位移可称为刚体位移。

引起位移的因素包括荷载作用、温度改变、支座移动、制造和装配误差，前两者使结构产生弹性位移（应变），后两者只引起结构的刚体位移。

位移计算虽然是一个几何问题，但最好的解法并非几何方法，而是利用虚功原理。

2、实功与虚功的概念

上面提到，结构位移计算的基本方法是利用虚功原理，整章基本上都在与虚功打交道，因此深刻理解虚功的概念非常重要，可以与实功对照着理解。

大家在物理课程学过，功就是力与在力的方向的位移的乘积，若是常力直接相乘，若是变力则用积分处理。仔细推敲功的概念就会发现，它只要求是同一点、同一方向的力与位移的乘积，对此力和位移是否有因果关系并未作要求，因此就有两种情况：

如果做功的力与位移一一对应，有因果关系，该位移就是由该力引起的，这种功就称为实功，

如果做功的力与位移没有因果关系，即该位移与该力不相干（这是完全可能的），它们只是在同一点、同一方向，这种功就称为虚功，注意“虚”字在此并非不存在的意思，只是强调做功的力与位移独立无关。

下面举个简单的例子：

右图所示简支梁，先在1截面施加 荷载P， 1（是指从零慢慢加至最终值）

梁变形到绿线位置，然后在2截面

施加荷载P2（在此过程中P， 1保持不变） 梁最终变形至红线位置（为了演示清楚， 位移画得比较大，实际都是小变形）11 实功 P111，P222 （此例中实功为变力做功） 22

虚功 P112

3、刚体虚功原理的两种应用

4、对变形体虚功原理的理解

变形体虚功原理是整章的基础，可以把本章所有的内容串起来，因为刚体虚力原理也不过是其特殊情况。对变形体虚功原理的推导尽管不作要求，但对其本身及与其它原理、方法的关系的理解必须深刻：

5、图乘法应用的注意事项

基于单位力法的图乘法是求荷载作用下结构位移的最重要的方法，必须熟练掌握。

Ay0Pds EIEI

教材上对图乘法已有详细说明和实例，请大家仔细学习。在此强调几点：

● 应用条件：等截面直杆。和MP肯定至少有一个是直线图。

● 标距y0应取自直线弯矩图中，A和y0在杆的同侧则乘积为正，否则为负。

● 对二次抛物线弯矩图，只需记住标准的二次抛物线面积公式A2lh，其它非标准的二次3

抛物线可分解成直线和标准的二次抛物线的叠加。

● 对分段折线弯矩图必须分段考虑，对梯形弯矩图最好分解计算。