第3章 静定结构的受力分析

本章计算梁、刚架、三铰拱、桁架、组合结构这5种静定平面结构的内力，并画出必要的内力图，是结构力学的另一重要基础。要学好本章，首先必须建立以下认识：

● 千万不能轻视本章，认为静定结构的内力计算仍然是利用截面法和静力学的平衡方程，没什么新东西，其实基本的东西就那么几点，记住几点基本的东西并不难，难就难在灵活自如地运用。

● 本章将从材料力学中单根杆内力计算过渡到杆件系统的内力计算，这是一个质的飞跃。完成这个过渡的工具就是上一章的几何构成分析，计算(“拆”)顺序与构造（“搭”）顺序相反。

● 在本章中要深化对“平衡”的认识，静定结构的内力计算就是始终与平衡打交道，结构整体是平衡的，任何一个结点、一根杆、一个局部都是平衡的，尤其是结点的平衡，有助于我们从一根杆过渡到另一根杆计算内力，将各根杆串成杆件结构。

本章复习要求：

深刻理解：轴力、剪力、弯矩、三铰结构、三铰拱、桁架、简单桁架、联合桁架、组合结构等基本概念；由弯矩、剪力、载荷集度微分关系导出的杆件内力特点，多跨静定梁的几何构成与内力特点，刚架中刚结点的平衡特点，刚架内力图的特点，梁和刚架、三铰拱与桁架、组合结构的内力（承载）特点；

熟练掌握：截面法求指定截面的内力，分段叠加法画弯矩图，由弯矩、剪力、载荷集度微分关系画剪力图，简单刚架、主从刚架、三铰刚架的内力计算，桁架中零杆的判断，结点法和截面法求桁架杆件的轴力，静定组合结构的内力计算。

1、关于截面内力的定义

材料力学中定义了轴力、扭矩、剪力、弯矩等四种内力，在结构力学中基本上只涉及轴力、剪力、弯矩：

链杆（二力杆）的任一截面只有轴力，以受拉为正（与材力中相同）；

梁式杆的任一截面有轴力、剪力、弯矩三种内力，剪力以使隔离体顺时针转为正（与材力中相同）,与材力中（使梁下部受拉为正）不同，弯矩不规定正负号（因为结力中有各种方位的杆），而是根据截面法求出的弯矩判断哪侧受拉，在弯矩图中画在受拉一侧。

2、关于截面法

截面法是求所有平面结构（不管何种承载方式、不管静定或超静定）的指定截面内力的通用方法。请大家记住用6个字概括的截面法的3个步骤：

截开：用假想的截面（平面或曲面）将结构在指定截面处完全切开，取出一部分作为

隔离体（研究对象）。

代替：先画出隔离体受到的已知荷载，再将去掉部分对隔离体的作用效果用相应的约

束反力（支座反力和内力）代替并画出，方向可假设，实际方向由求出的约束

反力的正负号确定。

平衡：对隔离体列出平衡方程，求出内力。

3、由弯矩、剪力、载荷集度微分关系导出的杆件内力特点

在材力中得到了弯矩M、剪力Q、分布载荷集度q间的连锁微分关系：

dMdQQ,q dxdx

根据此关系，任一根杆（以水平杆为例）的内力图的特点可总结如下：

上表列出的特点有助于速画及检查弯矩图、剪力图，记住它们并不难，关键是时时处处熟练、灵活地运用，要形成一种下意识的条件反射，看到某根杆的荷载情况，就在脑海中形成弯矩图、剪力图的形状。

4、关于分段叠加法画弯矩图

在材力中一般用列弯矩方程画弯矩图，在结构力学中禁止大家用列弯矩方程画弯矩图！因为结力中杆件多、荷载复杂，用列弯矩方程画弯矩图将烦不胜烦，建议大家用分段叠加法画弯矩图：

根据杆上荷载情况将杆分为若干段；

用截面法求控制截面（不同节段的过渡截面）的弯矩；

在轴线上将弯矩标在受拉一侧，然后分段连线：

对无荷载作用的区段，直接连实线，

对有均布荷载作用的区段，先用虚线连接，然后叠加上与区段长度相同的简支梁受均布荷载作用的抛物线（注意是纵坐标的叠加，而不是图形的简单叠加）。

5、由弯矩、剪力、载荷集度微分关系画剪力图

与分段叠加法画弯矩图类似，

根据杆上荷载情况将杆分为若干段；

用截面法求控制截面的剪力；

在轴线上按正负号将剪力标在杆的两侧，然后分段连成实线。

一般地，从杆的一端开始，逐段推进，无荷载区段画与杆轴平行的直线，在集中力作用处用台阶过渡，均布荷载区段则求出两端控制截面的剪力，连成斜线。

6、多跨静定梁的几何构成与内力特点

几何构成特点：分级（基本部分，第一级附属部分，第

二级附属部分„„）

多跨静定梁的内力特点：某一级上受荷载作用，在该级和高于该级的 部分才有内力，低于该级的部分无内力。

计算顺序：与几何构造顺序相反，从低级到高级。

7、刚结点的变形与平衡特点

一个刚结点处可有多根杆刚结，深刻理解刚结点的变形和平衡特点有助于后面位移法的学习与理解。现以两杆刚结点为例说明其变形和平衡特点。

刚结点的变形特点（如右图所示）： 两杆在A端不能有相对移动和相对转动，只能有

整体的线位移和转角，变形前后两杆夹角不变。 刚结点的平衡特点（如下图所示）：

MAC

N

AC

● 结构力学中的结点不是一个纯几何点，而是一个小区域（用极限的思想理解，要多小有多小），因此要将A结点取出作为隔离体，必须分别在A点偏左和偏下处切断两根杆。

● 结点与杆端有作用力和反作用力，满足牛顿第三定律。两根杆A端的弯矩、剪力、轴力是结点给予的，相应地，结点受到两根杆A端的反作用，因此研究结点的平衡，就可将两杆A端的内力情况综合起来，有助于从一根杆过渡到另一根杆。

● 杆端或结点的受力必须用两个下标，前一个下标表示结点，后一个下标表示杆的另一端（远端）。另外，为了简便，结点与杆端间的作用力、反作用力在书写上不加区分，如上图中结点与水平杆A端的作用力矩与反作用力矩都用MAB表示。

● 对结点，可列出平衡方程如下：

X0NABQAC0

QABNAC0

MACMAB0 Y0m0A

最后的力矩平衡方程中，轴力和剪力对A的力矩皆为零，因为结点区域是分别在A点偏左和偏下无穷小处切断两根杆取出的。

● 对两杆刚结点，在无集中力偶作用时，两杆的A端同侧受拉。这点有助于快速地从一根杆的弯矩图过渡到另一根杆的弯矩图。

8、三铰结构的支座反力及内力计算

三铰刚架、三铰拱、三铰组合结构都是三铰结构，是由基础、基础以外的两个部分通过不在一条直线上的三个铰两两相连，按三刚片法则组装起来的静定平面结构。若与基础相连的两个铰等高，则可按以下顺序求支座反力和内力，作到一个方程解一个未知数：

先以整体为对象，求竖直支座反力；

再以基础以外的任一部分为对象，求水平支座反力及第三铰处反力。

9、桁架零杆的判断

在特定荷载作用下，桁架中内力为零的杆件称为零杆。

首先判断桁架的零杆，将有助于用结点法或截面法计算桁架。零杆的三种基本情况为： ● 两根杆汇交于一铰结点，结点上无外荷载，此两杆皆为零杆。

因为结点平衡，S1和S2的合力为零，

因此S10，S20。

● 三根杆汇交于一铰结点，其中两根杆共线，结点上无外荷载，另外一根不共线的杆为零杆。

因为结点平衡，在垂直于共线的两根 2 杆轴线方向投影，因此S30 S 2

● 对称桁架（支座、几何形状、荷载皆对称），对称轴上K形结点的两根斜杆为零杆。 在垂直于S1和S2的方向投影，

S3sinS4sin0

S3S4

根据对称性，S3S4，

因此S3S40。

10、静定组合结构的合理计算顺序

组合结构既有梁、刚架结构（全为受弯构件）的特点，也有桁架结构（全为轴向拉压构件）的特点。一定要分清哪些是梁式杆，哪些是链杆。要根据体系的几何构成特点选择合理的计算顺序，选择合理的截面，在计算出所有链杆轴力前，不要截断梁式杆。一般顺序是：先求出支座反力；再用截面法切开两刚片或三刚片的联系部分，求出约束反力；再用结点法，或取梁式杆整体为对象，求出其它链杆的轴力；最后分析梁式杆的荷载，计算梁式杆的内力。